11 Динамика материальной системы

11.1 Одинаковые по размерам шары сделаны из материалов плотности ρ₁ и ρ₂. При падении шара сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Максимальная скорость падения первого шара составляет 100 м/c. Найти максимальную скорость падения второго шара, если ρ₁=7,8 г/см³, ρ₂=2500 кг/м³.

Ответ: υ₂=56,6 м/c.

11.2 Механическая система, состоящая из ступенчатого блока 1 (r=0,12 м; ρ=0,15 м), катка 2 и груза 3, соединенных между собой гибкими нитями (см.рис.1), приводится в движение парой сил с моментом М=β·m·g·R, H из состояния покоя    (S_C20=S_C30=V_C30=0; ).

Считая, что:

1) масса блока 1 равна m₁, кг масса  катка 2 равна m₂=2m₁; кг масса груза 3 равна m₃=2m₁, кг; l=15 м; R=0,3 м;

2) коэффициент трения скольжения между грузом 3 и брусьями А₂С₁ равен f_тр3=0,3;

3) коэффициент трения качения катка 2 по брусьям A₁C₁ равен f_k=0,06;

4) центр тяжести катка 2, при его движении по брусьям A₁C₁, за время t, c переместился на расстояние S_C2, м от левой опоры А₁, а центр тяжести груза 3 за то же время переместился на расстояние S_C3 от опоры A₂;

5) груз 3, переместившись по брусьям A₂C₁ на расстояние (S_C3+1) от опоры A₂, плавно вошел в соприкосновение с цилиндрической винтовой пружиной, сдеформировал её на λ, м  и остановился. Второй конец пружины с балкой  A₂C₁ не связан.

Вычислить:

1. Скорости точек С₂ и С₃, а также угловые скорости блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда центр тяжести С₂ был смещен на расстояние S_C2, м от опоры А₁, а центр тяжести С₃ был смещен на расстояние S_С3, м от опоры А₂ .

2. Ускорения точек C₂ и C₃, а также угловые ускорения блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда их центры тяжести C₂ и C₃ были смещены на расстояния S_C2, м и S_C3, м, соответственно.

3. Время, в течение которого центр тяжести груза 3 (точка C₃) переместился на расстояние S_C3, м от опоры А₂.

4. Величину минимального значения коэффициента трения скольжения f_тр2 между катком 2 и брусьями А₁С₁.

5. Величину максимальной деформации сжатия цилиндрической винтовой пружины λ, м в момент остановки груза 3.

6. Диаметр проволоки, из которой изготовлена пружина, если средний диаметр её витка равен D=0,2 м, допускаемое напряжение на срез равно [τ]=150 МПа, жесткость пружины равна 50 кН/м.

7. Динамические реакции внешних и внутренних связей в тот момент времени, когда центры тяжести катка 2 и груза 3 смещены на расстояния S_C2, м и S_C3, м от  опор А₁ и А₂,  соответственно. Принять l=15 м.

8. Из условия прочности при поперечном изгибе подобрать прочные размеры поперечного сечения бруса А₂С₁, считая, что он изготовлен из двух швеллеров, опирающихся тыльной стороной на опоры А₂ и С₁.

Считать, что наибольший изгибающий момент возникает в опасном сечении, располагающемся на расстоянии (S_C3+1), м от опоры А₂. Принять допускаемое нормальное напряжение на изгиб стальной детали равным  [σ]=160 МПа.

9. Из условия прочности на разрыв рассчитать диаметр тросов, соединяющих блок 1 с катком 2 и грузом 3, приняв допускаемое напряжение на разрыв [σ]=100 МПа.

Таблица 1 — Данные для решения задачи 

11.3 Механическая система (рис. Д1.8) состоит из ступенчатых шкивов 1, 2 и 3 (коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,1). Тела системы соединены друг с другом нитями или находятся в зацеплении. Радиусы ступеней шкивов R₁, r₁, R₂, r₂приведены в табл. Д1.1, а остальные параметры системы – в табл. Д1.2.

Под действием постоянного момента M система приходит в движение из состояния покоя. На шкив 2 действует постоянный момент сопротивления MC. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение груза 3 равно S₃. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д1.2, где обозначено: ω₁, ω₂ – угловые скорости шкивов 1, 2, V₃ –скорость груза 3. В этой же таблице указано перемещение груза S₃.

Указание. Задача Д1 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. Т-Т₀=∑А^е+∑Аⁱ. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел входящих в систему. Кинетическую энергию системы следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую следует определить в задаче.

Таблица Д1.1 

Таблица Д1.2 

Продолжение таблицы Д1.2 

Ответ: ω₁=25 рад/c.

11.4 (Вариант 143) РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

Теорема об изменении кинетической энергии

Задание:  Для заданной механической системы, движение которой начинается из состояния покоя, определить, какую скорость приобретает тело 1 при перемещении на расстояние S.

Таблица 2 – Исходные данные 

Продолжение таблицы 2 

Ответ: V₁=3,27 м/c.

11.6 Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Механическая система состоит из груза 3 и колес 1 и 2 (рис. 6). К колесу 1 приложена сила P = P(t). Время t отсчитывается от момента t = 0, когда угловая скорость колеса 1 равна ω_1,0. Момент сил сопротивления, приложенных к ведомому колесу 2, равен М_с. Другие силы сопротивления движению системы не учитывать. Массы колес 1 и 2 равны m₁ и m₂, масса груза 3 равна m₃. Радиусы больших и малых окружностей колес равны R₁, r₁, R₂, r₂. Заданы радиусы инерции i₁, i₂ тел сложной формы. Если радиус инерции колеса не задан, то считаем его сплошным однородным диском.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 3.

Найти закон движения того тела Т системы, номер которого указан в последнем столбце таблицы 3.

Определить также натяжение нити в заданный момент времени t₁ и окружное усилие в точке соприкосновения колес 1 и 2.

Таблица 3

Исходные данные для задания 3