11 Динамика материальной системы
11.1 Одинаковые по размерам шары сделаны из материалов плотности ρ1 и ρ2. При падении шара сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Максимальная скорость падения первого шара составляет 100 м/c. Найти максимальную скорость падения второго шара, если ρ1=7,8 г/см³, ρ2=2500 кг/м³.
Ответ: υ2=56,6 м/c.
11.2 Механическая система, состоящая из ступенчатого блока 1 (r=0,12 м; ρ=0,15 м), катка 2 и груза 3, соединенных между собой гибкими нитями (см.рис.1), приводится в движение парой сил с моментом М=β·m·g·R, H из состояния покоя (SC20=SC30=VC30=0; ).
Считая, что:
1) масса блока 1 равна m1, кг масса катка 2 равна m2=2m1; кг масса груза 3 равна m3=2m1, кг; l=15 м; R=0,3 м;
2) коэффициент трения скольжения между грузом 3 и брусьями А2С1 равен fтр3=0,3;
3) коэффициент трения качения катка 2 по брусьям A1C1 равен fk=0,06;
4) центр тяжести катка 2, при его движении по брусьям A1C1, за время t, c переместился на расстояние SC2, м от левой опоры А1, а центр тяжести груза 3 за то же время переместился на расстояние SC3 от опоры A2;
5) груз 3, переместившись по брусьям A2C1 на расстояние (SC3+1) от опоры A2, плавно вошел в соприкосновение с цилиндрической винтовой пружиной, сдеформировал её на λ, м и остановился. Второй конец пружины с балкой A2C1 не связан.
Вычислить:
1. Скорости точек С2 и С3, а также угловые скорости блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда центр тяжести С2 был смещен на расстояние SC2, м от опоры А1, а центр тяжести С3 был смещен на расстояние SС3, м от опоры А2 .
2. Ускорения точек C2 и C3, а также угловые ускорения блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда их центры тяжести C2 и C3 были смещены на расстояния SC2, м и SC3, м, соответственно.
3. Время, в течение которого центр тяжести груза 3 (точка C3) переместился на расстояние SC3, м от опоры А2.
4. Величину минимального значения коэффициента трения скольжения fтр2 между катком 2 и брусьями А1С1.
5. Величину максимальной деформации сжатия цилиндрической винтовой пружины λ, м в момент остановки груза 3.
6. Диаметр проволоки, из которой изготовлена пружина, если средний диаметр её витка равен D=0,2 м, допускаемое напряжение на срез равно [τ]=150 МПа, жесткость пружины равна 50 кН/м.
7. Динамические реакции внешних и внутренних связей в тот момент времени, когда центры тяжести катка 2 и груза 3 смещены на расстояния SC2, м и SC3, м от опор А1 и А2, соответственно. Принять l=15 м.
8. Из условия прочности при поперечном изгибе подобрать прочные размеры поперечного сечения бруса А2С1, считая, что он изготовлен из двух швеллеров, опирающихся тыльной стороной на опоры А2 и С1.
Считать, что наибольший изгибающий момент возникает в опасном сечении, располагающемся на расстоянии (SC3+1), м от опоры А2. Принять допускаемое нормальное напряжение на изгиб стальной детали равным [σ]=160 МПа.
9. Из условия прочности на разрыв рассчитать диаметр тросов, соединяющих блок 1 с катком 2 и грузом 3, приняв допускаемое напряжение на разрыв [σ]=100 МПа.
Таблица 1 — Данные для решения задачи
№ строк | β | SC2, м | α, град | m1, кг |
2,1 | 10 | 40 | 100 | |
шифр | 1 | 0 | 1 | 6 |
11.3 Механическая система (рис. Д1.8) состоит из ступенчатых шкивов 1, 2 и 3 (коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,1). Тела системы соединены друг с другом нитями или находятся в зацеплении. Радиусы ступеней шкивов R1, r1, R2, r2приведены в табл. Д1.1, а остальные параметры системы – в табл. Д1.2.
Под действием постоянного момента M система приходит в движение из состояния покоя. На шкив 2 действует постоянный момент сопротивления MC. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение груза 3 равно S3. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д1.2, где обозначено: ω1, ω2 – угловые скорости шкивов 1, 2, V3 –скорость груза 3. В этой же таблице указано перемещение груза S3.
Указание. Задача Д1 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. Т-Т0=∑Ае+∑Аi. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел входящих в систему. Кинетическую энергию системы следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую следует определить в задаче.
Таблица Д1.1
№ рисунка | R1, м | r1, м | R2, м | r2, м |
Д1.8 | 0,2 | - | 0,6 | 0,1 |
Таблица Д1.2
№ условия | m1, кг | m2, кг | m3, кг | М, Н·м |
1 | 3 | 5 | 6 | 24 |
Продолжение таблицы Д1.2
МС, Н·м | α, град | S3, м | Найти |
0,4 | 60 | 1,2 | ω1 |
Ответ: ω1=25 рад/c.
11.4 (Вариант 143) РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2
Теорема об изменении кинетической энергии
Задание: Для заданной механической системы, движение которой начинается из состояния покоя, определить, какую скорость приобретает тело 1 при перемещении на расстояние S.
Таблица 2 – Исходные данные
m1, кг | R, м | d, м | αº | m2, кг |
3m | 0,5 | 0,002 | 45 | 3m |
Продолжение таблицы 2
f | m3, кг | m4, кг | S1, м | ρ, м |
0,1 | 2m | 4m | 5 | 0,15 |
Ответ: V1=3,27 м/c.
11.5 Определение ускорения движения центра масс груза
Каток 1 массой m1, на который намотан нерастяжимый канат, катится без скольжения по горизонтальной плоскости из состояния покоя под действием момента Μ пары сил и поднимает канатом, перекинутым через блок 2 массой m2, груз 3 массой m3 по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). Пренебрегая трением качения катка с плоскостью и проскальзыванием нити относительно блока и катка, найти ускорение движения центра масс груза. Принять, что каток и блок представляют собой сплошные однородные цилиндры радиусами R1 и R2, участок каната между катком и блоком горизонтальный и коэффициент трения скольжения при движении груза по плоскости равен μ. Исходные данные приведены в таблице 10.
Таблица 10 – Исходные данные к задаче 5.
Вариант 2 | |||||||
α, º | μ | R1, м | R2, м | М, Н·м | m1, кг | m2, кг | m3, кг |
60 | 0,2 | 0,2 | 0,6 | 22 | 40 | 10 | 14 |
Ответ: аА=3,4 м/c².
Все задачи из: Горюнов С.В. Семенов В.А. РГАЗУ 2017 Теоретическая механика
11.6 Дифференциальные уравнения движения твердого тела
Механическая система состоит из груза 3 и колес 1 и 2 (рис. 6). К колесу 1 приложена сила P = P(t). Время t отсчитывается от момента t = 0, когда угловая скорость колеса 1 равна ω1,0. Момент сил сопротивления, приложенных к ведомому колесу 2, равен Мс. Другие силы сопротивления движению системы не учитывать. Массы колес 1 и 2 равны m1 и m2, масса груза 3 равна m3. Радиусы больших и малых окружностей колес равны R1, r1, R2, r2. Заданы радиусы инерции i1, i2 тел сложной формы. Если радиус инерции колеса не задан, то считаем его сплошным однородным диском.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 3.
Найти закон движения того тела Т системы, номер которого указан в последнем столбце таблицы 3.
Определить также натяжение нити в заданный момент времени t1 и окружное усилие в точке соприкосновения колес 1 и 2.
Таблица 3
Исходные данные для задания 3
Номер варианта 17
Заданные величины |
|||||||
m1,
кг |
m2,
кг |
m3,
кг |
Р = Р(t),
Н |
Мс,
Н·м |
ω1,0,
рад/c |
t1,
с |
тело Т |
150 | 300 | 600 | 5500 + 200t | 1500 | 2 | 1 | 3 |