6 Кинематика точки

6.1 Материальная точка М движется в плоскости Oxy. Закон движения точки задан уравнениями x(t) и y(t), где x и y выражены в сантиметрах, время t — в секундах.

Определить:

1) траекторию движения точки, точку соответствующую началу движения t=0 и направление движения;

2) в заданный момент времени t определить положение точки на траектории, ее скорость и ускорение, нормальное и касательное ускорения, радиус кривизны траектории. Определить ускоренно или замедленно движется точка.

Таблица 1 – Исходные данные

Вариант 1244
x(t), см a t, c d y(t), см с b
at+c -5 1/6 7 a·cos(πt/b)+d 5 2

ВУЗ: ЮУрГУ


6.2 По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t=t1(c) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Таблица 1 – Исходные данные 

Вариантх=х(t), смy=y(t), смt1, c
62t2-4-2t0,5

Варианты задачи: 8, 5.


6.3 Определение кинематических характеристик движения материальной точки

По заданным уравнениям движения точки x = f1(t), y = f2(t) найти уравнение траектории точки. Для момента времени t1 = 1с вычислить ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории. На рисунке в масштабе изобразить траекторию движения точки и для заданного момента времени t1 = 1с построить векторы скорости и ускорения.

Уравнения движения точки x = f1(t) указаны на соответствующих рисунках, а уравнения движения y = f2(t) приведены в табл. К1 (для рис. К1.0 ÷ К1.2 – в столбце 2, для рис. К1.3 ÷ К1.6 − в столбце 3, для рис. К1.7 ÷ К1.9 – в столбце 4); величины х и у измеряются в см, время в секундах.Определение кинематических характеристик движения материальной точки По заданным уравнениям движения точки x = f1(t), y = f2(t) найти уравнение траектории точки. Для момента времени t1 = 1с вычислить ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории. На рисунке в масштабе изобразить траекторию движения точки и для заданного момента времени t1 = 1с построить векторы скорости и ускорения. Уравнения движения точки x = f1(t) указаны на соответствующих рисунках, а уравнения движения y = f2(t) приведены в табл. К1 (для рис. К1.0 ÷ К1.2 – в столбце 2, для рис. К1.3 ÷ К1.6 − в столбце 3, для рис. К1.7 ÷ К1.9 – в столбце 4); величины х и у измеряются в см, время в секундах.

Таблица К1

Уравнения движения точки y = f2(t)

Номер условия y = f2(t)
Рис. К1.3, К1.4, К1.5, К1.6
1 1+3 sin² πt/6

ВУЗ: ИРНИТУ


6.4 Точка В движется в плоскости ху (рис. Kl.0 — Kl.9, табл. Kl; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f1(t), у = f2(t) где х и у выражены в сантиметрах, t — в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.Точка В движется в плоскости ху (рис. Kl.0 — Kl.9, табл. Kl; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f1(t), у = f2(t) где х и у выражены в сантиметрах, t — в секундах. Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 = 1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Таблица К1

Номер условия у = f2(t)
Рис.3-6
6 (t + 1)³


6.5 Написать уравнение вращения диска паровой турбины при пуске в ход, если известно. что угол поворота пропорционален кубу времени и при t=3 c угловая скорость диска равна ω=27π рад/c.

Ответ: φ=πt³ рад.

Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf


6.6 Маятник центробежного регулятора, вращающийся вокруг вертикальной оси АВ, делает 120 об/мин. В начальный момент угол поворота был равен π/6 рад. Найти угол поворота и угловое перемещение маятника за время t=1/2 c.

Ответ: φ=13π/6 рад, Δφ=2π рад.

Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf


6.7 Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениями ее движения

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t1(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимы для решения данные приведены в табл. 20.

Таблица 20

Номер варианта Уравнения движения t=t1c
x=x(t), см у=у(t), см
1 -2t² + 3 -5t 1/2

Варианты задачи: 6, 24.


6.8 Кинематика точки

Движение точки задано уравнениями x=f1(t) и y=f2(t) (x, y — в сантиметрах, t — в секундах). Найти траекторию точки и для моментов времени t=0 и t1=2 c определить ее координаты, скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории; вычертить траекторию точки, показать векторы скоростей и ускорений на траектории.

Уравнения движения приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2 – Уравнения движения точки 

ВариантУравнение движения
x=f1(t), смy=f2(t), см
203cos(π/3)t+13sin(π/3)t+3


6.9 Точка движется по винтовой линии x=acoskt; y=asinkt; z=υt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

Ответ: ρ=a, φ=kt, z=υt.

Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf


6.10 По данным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.

1) x=3t-5, y=4-2t; 2) x=2t, y=8t2;

3) x=5sin10t, y=3cos10t; 4) x=2-3cos5t, y=4sin5t-1;

5) x=cht=0,5(et+e-t), y=sht=0,5(et-e-t).

Ответ: 1) полупрямая 2x+3y-2=0 с началом в точке x=-5, y=4; 2) правая ветвь параболы y=2x² с начальной точкой x=0, y=0; 3) эллипс x²/25+y²/9=1 с начальной точкой x=0, y=3; 4) (x-2)²/9+(y+1)²/16 =1 с начальной точкой x=-1, y=-1; 5) верхняя часть правой ветви гиперболы x²-y²=1 с начальной точкой x=1, y=0.

Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf