6 Кинематика точки
6.1 Материальная точка М движется в плоскости Oxy. Закон движения точки задан уравнениями x(t) и y(t), где x и y выражены в сантиметрах, время t — в секундах.
Определить:
1) траекторию движения точки, точку соответствующую началу движения t=0 и направление движения;
2) в заданный момент времени t определить положение точки на траектории, ее скорость и ускорение, нормальное и касательное ускорения, радиус кривизны траектории. Определить ускоренно или замедленно движется точка.
Таблица 1 – Исходные данные
| Вариант 1244 | ||||||
| x(t), см | a | t, c | d | y(t), см | с | b |
| at+c | -5 | 1/6 | 7 | a·cos(πt/b)+d | 5 | 2 |
ВУЗ: ЮУрГУ
6.2 По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t=t1(c) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Таблица 1 – Исходные данные
| Вариант | х=х(t), см | y=y(t), см | t1, c |
| 6 | 2t2-4 | -2t | 0,5 |
6.3 Определение кинематических характеристик движения материальной точки
По заданным уравнениям движения точки x = f1(t), y = f2(t) найти уравнение траектории точки. Для момента времени t1 = 1с вычислить ее скорость, нормальное, касательное и полное ускорения, а также радиус кривизны траектории. На рисунке в масштабе изобразить траекторию движения точки и для заданного момента времени t1 = 1с построить векторы скорости и ускорения.
Уравнения движения точки x = f1(t) указаны на соответствующих рисунках, а уравнения движения y = f2(t) приведены в табл. К1 (для рис. К1.0 ÷ К1.2 – в столбце 2, для рис. К1.3 ÷ К1.6 − в столбце 3, для рис. К1.7 ÷ К1.9 – в столбце 4); величины х и у измеряются в см, время в секундах.
Таблица К1
Уравнения движения точки y = f2(t)
| Номер условия | y = f2(t) |
| Рис. К1.3, К1.4, К1.5, К1.6 | |
| 1 | 1+3 sin² πt/6 |
ВУЗ: ИРНИТУ
Все задачи из: Теоретическая механика ИРНИТУ
6.4 Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки часов; 2) минутной стрелки часов; 3) часовой стрелки часов; 4) вращения Земли вокруг своей оси, считая, что Земля делает один оборот за 24 часа; 5) паровой турбины Лаваля, делающей 15000 об/мин.
Ответ: 1) ω=π/30 рад/c=0,1047 рад/c; 2) ω=π/1800 рад/c=0,001745 рад/c; 3) ω=π/21600 рад/c=0,0001455 рад/c; 4) ω=π/43200 рад/c=1571 рад/c; 5) ω=1571 рад/c.
Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf
6.5 Написать уравнение вращения диска паровой турбины при пуске в ход, если известно. что угол поворота пропорционален кубу времени и при t=3 c угловая скорость диска равна ω=27π рад/c.
Ответ: φ=πt³ рад.
Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf
6.6 Маятник центробежного регулятора, вращающийся вокруг вертикальной оси АВ, делает 120 об/мин. В начальный момент угол поворота был равен π/6 рад. Найти угол поворота и угловое перемещение маятника за время t=1/2 c.
Ответ: φ=13π/6 рад, Δφ=2π рад.
Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf
6.7 Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениями ее движения
По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t1(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Необходимы для решения данные приведены в табл. 20.
Таблица 20
| Номер варианта | Уравнения движения | t=t1c | |
| x=x(t), см | у=у(t), см | ||
| 1 | -2t² + 3 | -5t | 1/2 |
6.8 Кинематика точки
Движение точки задано уравнениями x=f1(t) и y=f2(t) (x, y — в сантиметрах, t — в секундах). Найти траекторию точки и для моментов времени t=0 и t1=2 c определить ее координаты, скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории; вычертить траекторию точки, показать векторы скоростей и ускорений на траектории.
Уравнения движения приведены в табл. 5.2.
Таблица 5.2 – Уравнения движения точки
| Вариант | Уравнение движения | |
| x=f1(t), см | y=f2(t), см | |
| 20 | 3cos(π/3)t+1 | 3sin(π/3)t+3 |
6.9 Точка движется по винтовой линии x=acoskt; y=asinkt; z=υt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.
Ответ: ρ=a, φ=kt, z=υt.
Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf
6.10 По данным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.
1) x=3t-5, y=4-2t; 2) x=2t, y=8t2;
3) x=5sin10t, y=3cos10t; 4) x=2-3cos5t, y=4sin5t-1;
5) x=cht=0,5(et+e-t), y=sht=0,5(et-e-t).
Ответ: 1) полупрямая 2x+3y-2=0 с началом в точке x=-5, y=4; 2) правая ветвь параболы y=2x² с начальной точкой x=0, y=0; 3) эллипс x²/25+y²/9=1 с начальной точкой x=0, y=3; 4) (x-2)²/9+(y+1)²/16 =1 с начальной точкой x=-1, y=-1; 5) верхняя часть правой ветви гиперболы x²-y²=1 с начальной точкой x=1, y=0.
Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf
