Теоретическая механика Московский Политех

7.20 РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА К-3

В планетарном механизме (рис.3.1-3.6) шестерня I радиуса R1 неподвижна, а кривошип OA, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости рисунка, приводит в движение свободно насаженную на его конец A шестерню II радиуса R2 . Для указанного на рисунке положения механизма найти скорости и ускорения точек A и B, если для соответствующего момента времени известны абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения кривошипа (ωOA, εOA). На рисунках условно показаны направления угловой скорости и углового ускорения дуговыми стрелками вокруг оси вращения. При этом направление угловой скорости соответствует направлению вращательного движения кривошипа. Угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположную — при замедленном. Необходимые данные приведены в таблице 3.РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА К-3 В планетарном механизме (рис.3.1-3.6) шестерня I радиуса R1 неподвижна, а кривошип OA, вращаясь вокруг неподвижной оси, проходящей через точку O перпендикулярно плоскости рисунка, приводит в движение свободно насаженную на его конец A шестерню II радиуса R2 . Для указанного на рисунке положения механизма найти скорости и ускорения точек A и B, если для соответствующего момента времени известны абсолютные величины угловой скорости и углового ускорения кривошипа (ωOA, εOA). На рисунках условно показаны направления угловой скорости и углового ускорения дуговыми стрелками вокруг оси вращения. При этом направление угловой скорости соответствует направлению вращательного движения кривошипа. Угловое ускорение направлено в сторону угловой скорости при ускоренном вращении и в противоположную - при замедленном. Необходимые данные приведены в таблице 3.

Таблица 3

№ варианта № рисунка ωOA, (с-1) εOA, (с-2) R1, (м) R2, (м) α, (град)
11 3.5 2 4 0,7 0,2 90
В корзину – 250 RUB

ВУЗ: Московский Политех

15.8 ЗАДАНИЕ Д-1 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

Материальная точка M массой m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. Участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный. Угол наклона трубы α = 30º.

На участке АВ на материальную точку действует сила тяжести Р, постоянная сила  (ее направление указано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости V груза (направлена сила против движения). Трением груза о трубу на участке АВ пренебрегаем.

В точке В материальная точка, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на нее действует сила тяжести P, сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой FX на ось x приведена в таблице Д-1.

Известно расстояние AB = l или время t1 движения от точки А до точки В. Требуется найти закон движения материальной точки на участке BС: x = f (t).Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки Материальная точка M массой m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. Участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный. Угол наклона трубы α = 30º. На участке АВ на материальную точку действует сила тяжести , постоянная сила  (ее направление указано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости  груза (направлена сила против движения). Трением груза о трубу на участке АВ пренебрегаем. В точке В материальная точка, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на нее действует сила тяжести , сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила , проекция которой FX на ось x приведена в таблице Д-1. Известно расстояние AB = l или время t1 движения от точки А до точки В. Требуется найти закон движения материальной точки на участке BС: x = f (t).

Таблица Д-1

№ варианта 6
Рис. m, кг V0, м/c Q, Н R, Н μ l, м t1, с FX, Н
6 1,2 22 2 μV² 0,8 0,5 — 6t
В корзину – 300 RUB

ВУЗ: Московский Политех

17.1 ЗАДАНИЕ Д-2 Свободные колебания материальной точки.

Система пружин (рис. 2.1) с жесткостями С1 и С2 в начальный момент недеформирована. Тело весом P совершает колебания, упав с высоты h из состояния покоя или после сообщения ему начальной скорости V0 вниз или вверх. Найти закон колебаний x(t) тела, частоту колебаний k, период Т и амплитуду А этих колебаний. Необходимые данные взять из таблицы Д-2. Условия задачи таковы, что пластины, соединяющие пружины, во время колебаний остаются параллельными своим первоначальным положениям. Пластины и пружины невесомы. Положительное направление оси x вниз. Считать g = 10 м/с². Наклонные плоскости гладкие.

Указание. В заданиях с рисунками 1, 4, 7 определить предварительно V0 , учитывая параметр h.ЗАДАНИЕ Д-2 Свободные колебания материальной точки. Система пружин (рис. 2.1) с жесткостями С1 и С2 в начальный момент недеформирована. Тело весом P совершает колебания, упав с высоты h из состояния покоя или после сообщения ему начальной скорости V0 вниз или вверх. Найти закон колебаний x(t) тела, частоту колебаний k, период Т и амплитуду А этих колебаний. Необходимые данные взять из таблицы Д-2. Условия задачи таковы, что пластины, соединяющие пружины, во время колебаний остаются параллельными своим первоначальным положениям. Пластины и пружины невесомы. Положительное направление оси x вниз. Считать g = 10 м/с². Наклонные плоскости гладкие. Указание. В заданиях с рисунками 1, 4, 7 определить предварительно V0 , учитывая параметр h.

Таблица Д-2

№ варианта № рисунка С1, Н/см С2, Н/см Р, Н h, см V0, см/с
6 6 150 100 45 — 40, вниз
В корзину – 220 RUB

ВУЗ: Московский Политех

11.15 ЗАДАНИЕ Д-3

На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна ω10, с некоторого момента времени (t = 0) начинает действовать пара сил с моментом M (движущий момент) или движущая сила Р.

Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m1 и m2, а масса поднимаемого груза 3 — m3. Момент сил сопротивления вращению ведомого звена 2 равен МC. Радиусы больших и малых окружностей звеньев 1 и 2: R1, r1, R2, r2 .

Схемы механизмов показаны на рис. 3.1-3.3, а необходимые для решения данные приведены в табл. 3.1.

Найти уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл. 3.1. Определить также натяжение нитей в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание звеньев 1 и 2, найти окружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусы инерции ρ1 и ρ2 в табл. 3.1 не заданы, считать сплошными однородными дисками.ЗАДАНИЕ Д-3 На звено 1 механизма, угловая скорость которого равна ω10, с некоторого момента времени (t = 0) начинает действовать пара сил с моментом M (движущий момент) или движущая сила Р. Массы звеньев 1 и 2 механизма равны соответственно m1 и m2, а масса поднимаемого груза 3 - m3. Момент сил сопротивления вращению ведомого звена 2 равен МC. Радиусы больших и малых окружностей звеньев 1 и 2: R1, r1, R2, r2 . Схемы механизмов показаны на рис. 3.1-3.3, а необходимые для решения данные приведены в табл. 3.1. Найти уравнение вращательного движения звена механизма, указанного в последней графе табл. 3.1. Определить также натяжение нитей в заданный момент времени, а в вариантах, где имеется соприкасание звеньев 1 и 2, найти окружное усилие в точке их касания. Звенья 1 и 2, для которых радиусы инерции ρ1 и ρ2 в табл. 3.1 не заданы, считать сплошными однородными дисками.

Таблица Д-3

№ варианта m1, кг m2, кг m3, кг R1, см R2, см r2, см
6 400 250 600 70 30 20

Продолжение таблицы Д-3

ρ1, см ρ2, см М, Н·м МС, Н·м ω10, с-1 t, с Найти
70 20√2 4800+10е2t 800 3 4 φ1
В корзину – 350 RUB

ВУЗ: Московский Политех

15.9 ЗАДАНИЕ Д-4 

Плоскопараллельное движение твердого тела

Барабан радиуса R весом P имеет проточку (как у катушки) радиуса r = 0,5R (рис.4.1, табл. Д-4). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы  и , направления которых определяются углом β. Кроме сил на барабане действует пара с моментом M. При движении, начинающимся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках.

Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс барабана, т.е. xC = f(t) , и наименьшее значение коэффициента трения fmin о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.ЗАДАНИЕ Д-4  Плоскопараллельное движение твердого тела Барабан радиуса R весом P имеет проточку (как у катушки) радиуса r = 0,5R (рис.4.1, табл. Д-4). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы  и , направления которых определяются углом β. Кроме сил на барабане действует пара с моментом M. При движении, начинающимся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках. Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс барабана, т.е. xC = f(t) , и наименьшее значение коэффициента трения fmin о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

Таблица Д-4

№ варианта № рисунка α,º β,º F1 F2 М
6 6 0 60 0,3Р 0,1Р 0
В корзину – 220 RUB

ВУЗ: Московский Политех

11.16 ЗАДАНИЕ Д-5

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывается трение скольжения тела А и сопротивление качению тела D, катящегося без скольжения. Другими силами сопротивления и массами нерастяжимых нитей пренебрегаем. Требуется определить скорость и ускорение тела А в тот момент, когда оно пройдет путь SA = S.

В задаче обозначено:

mA, mB, mD, mE — массы тел A, B, D, E;

RB, rB, RD, rD, RE, rE — радиусы больших и малых окружностей тел B, D, E;

ρB, ρD, ρE — радиусы инерции тел В, D, Е относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести;

α — угол наклона плоскости к горизонту;

f — коэффициент трения скольжения тела А;

k — коэффициент трения качения тела D.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Считать величину m равной 10 кг, g = 10 м/с².ЗАДАНИЕ Д-5 Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывается трение скольжения тела А и сопротивление качению тела D, катящегося без скольжения. Другими силами сопротивления и массами нерастяжимых нитей пренебрегаем. Требуется определить скорость и ускорение тела А в тот момент, когда оно пройдет путь SA = S. В задаче обозначено: mA, mB, mD, mE - массы тел A, B, D, E; RB, rB, RD, rD, RE, rE - радиусы больших и малых окружностей тел B, D, E; ρB, ρD, ρE - радиусы инерции тел В, D, Е относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; α - угол наклона плоскости к горизонту; f - коэффициент трения скольжения тела А; k - коэффициент трения качения тела D. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям. Считать величину m равной 10 кг, g = 10 м/с².

Таблица Д-5

№ варианта № рисунка mА, кг mВ, кг mЕ, кг mD, кг
6 6 9m 8m 3m 3m

Продолжение таблицы Д-6

RВ, м rВ, м ρВ, м RD, м rD, м ρD, м α,º k, см S, м
0,8 0,5 0,7 0,9 0,3 0,5 20 0,4 1,5
В корзину – 250 RUB

ВУЗ: Московский Политех

12.14 ЗАДАНИЕ Д-6

Принцип Даламбера для механической системы

Вертикальный вал  вращается с постоянной угловой скоростью ω (рис.6.1). Вал, стержни 1, 2, 3 и точечный груз 4 лежат в одной плоскости и жестко скреплены между собой. Стержни имеют линейные плотности γ1, γ2, γ3 и длины l1, l2, l3, масса точечного груза равна m4. Определить указанные в таблице параметры конструкции так, чтобы в подпятнике А и подшипнике В не возникало динамических реакций. Исходные данные и определяемые величины приведены в таблице Д-6.Принцип Даламбера для механической системы Вертикальный вал  вращается с постоянной угловой скоростью ω (рис.6.1). Вал, стержни 1, 2, 3 и точечный груз 4 лежат в одной плоскости и жестко скреплены между собой. Стержни имеют линейные плотности γ1, γ2, γ3 и длины l1, l2, l3, масса точечного груза равна m4. Определить указанные в таблице параметры конструкции так, чтобы в подпятнике А и подшипнике В не возникало динамических реакций.

Таблица Д-6

№ варианта 6
№ рис. γ1,

кг/м

 γ2,

кг/м

 γ3,

кг/м

 m4,

кг

 l1,

м

 l2,

м

 l3,

м

 Найти
6 5 6 — 10 6 2 3 z, γ3
В корзину – 250 RUB

ВУЗ: Московский Политех

13.8 ЗАДАНИЕ Д-7

Принцип возможных перемещений

Механизмы (рис.7.1-7.3) в заданном положении находятся в равновесии. Необходимо определить величину, указанную в предпоследней графе таблицы Д-7.1, применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами трения. Все необходимые для решения данные приведены в таблице Д-7.1.

Примечание: механизмы в вариантах 3, 6, 10, 14, 16, 18, 19, 25 и 30 расположены в вертикальной плоскости, а остальные — в горизонтальной.Принцип возможных перемещений Механизмы (рис.7.1-7.3) в заданном положении находятся в равновесии. Необходимо определить величину, указанную в предпоследней графе таблицы Д-7.1, применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами трения. Все необходимые для решения данные приведены в таблице Д-7.1. Примечание: механизмы в вариантах 3, 6, 10, 14, 16, 18, 19, 25 и 30 расположены в вертикальной плоскости, а остальные - в горизонтальной.

Таблица Д-7.1

№ варианта Линейный

размеры, см

 Сила Q, Н Определить Примечания
6 r1 = 15;

r2 = 50;

r3 = 20;

О1А = 80

 200 Р О1А — невесомый
В корзину – 250 RUB

ВУЗ: Московский Политех

14.3 ЗАДАНИЕ Д-8

Общее уравнение динамики

Механическая система, состоящая из груза 1 весом Р1, блоков 2 и 3 весом Р2 и Р3 соответственно и сплошного катка 4 весом Р4, движется под действием сил тяжести. Радиус инерции блоков 2 и 3 — ρ2 и ρ3. Если в таблице радиус инерции блока не указан, блок следует считать полым цилиндром. Каток 4 движется по рельсу, наклоненному к горизонту под углом α без скольжения. Коэффициент трения качения k. Трением в осях пренебречь, проскальзывание невесомых нерастяжимых нитей отсутствует. С помощью общего уравнения динамики определить ускорение оси катка. Схемы механизмов приведены на рис. 8.1, 8.2, данные – в таблице Д-8.1.Общее уравнение динамики Механическая система, состоящая из груза 1 весом Р1, блоков 2 и 3 весом Р2 и Р3 соответственно и сплошного катка 4 весом Р4, движется под действием сил тяжести. Радиус инерции блоков 2 и 3 - ρ2 и ρ3. Если в таблице радиус инерции блока не указан, блок следует считать полым цилиндром. Каток 4 движется по рельсу, наклоненному к горизонту под углом α без скольжения. Коэффициент трения качения k. Трением в осях пренебречь, проскальзывание невесомых нерастяжимых нитей отсутствует. С помощью общего уравнения динамики определить ускорение оси катка.

Таблица Д-8

№ варианта № рисунка Р1, кН Р2, кН Р3, кН Р4, кН α,º
6 6 1 2 1 0,5 15

Продолжение таблицы Д-8

R2, м r2, м ρ2, м R3, м r3, м ρ3, м R4, м ρ4, м r4, м k, см
— — — 0,4 0,2 0,3 — — 0,2 0,5
В корзину – 250 RUB

ВУЗ: Московский Политех

16.1 ЗАДАНИЕ Д-9

Уравнения Лагранжа II рода

Для заданной механической системы на основе уравнений Лагранжа II рода составить дифференциальные уравнения движения. Необходимые данные и рекомендуемые обобщенные координаты приведены в таблице Д-9.

При решении задачи массами нитей пренебречь. Считать, что качение происходит без проскальзывания. Блоки и катки, для которых в таблице радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Заданные силы P и моменты пар M считать постоянными величинами.ЗАДАНИЕ Д-9 Уравнения Лагранжа II рода Для заданной механической системы на основе уравнений Лагранжа II рода составить дифференциальные уравнения движения. Необходимые данные и рекомендуемые обобщенные координаты приведены в таблице Д-9. При решении задачи массами нитей пренебречь. Считать, что качение происходит без проскальзывания. Блоки и катки, для которых в таблице радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Заданные силы P и моменты пар M считать постоянными величинами.

Таблица Д-9

№ варианта № рисунка m1 m2 m3 m4 m5 Р
6 6 m1 m2 m3 m4 m5 —

Продолжение Таблицы Д-9

М f k q1 q2 ρ α Дополнительные указания
— — — x ξ 2r — ρ – радиус инерции тела 3
В корзину – 350 RUB

ВУЗ: Московский Политех