6 Кинематика точки

6.11 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид:

x=Ae-htcos(kt+e);      y=Ae-htsin(kt+ε)

где    A>0, h>0, k>0 и ε — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.

Ответ: r=Ae-ht, φ=kt+ε, траектория – логарифмическая спираль r=Aeh/k(φ-ε).

Учебник: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике Москва 1986.pdf


6.12 Кинематический анализ движения точки

Цель задачи: освоение методики аналитического исследования кинематики точки.

Постановка задачи

Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах: x=f1(t), y=f2(t).

1. Требуется определить уравнение траектории, построить траекторию движения точки.

2. Найти положение точки в момент времени t1.

3. Вычислить скорость точки в момент времени t1. Изобразить вектор скорости на рисунке.

4. Вычислить ускорение точки в момент времени t1. Изобразить вектор ускорения на рисунке.

5. Вычислить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории в момент времени t1. Изобразить векторы касательного и нормального ускорений на рисунке. Отметить центр кривизны траектории — точку С.

Таблица К1 

№ п/пx=f1(t)y=f2(t)t
33sin πt2cos 2πt1

(х, у — в сантиметрах, t — в секундах).


6.13 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки, если движение этой точки задано уравнениями в декартовых координатах (табл.4): х=f1(t), y=f2(t).

Кроме того, построить положения этой точки и вычислить скорость и ускорение для момента t1, а также показать на рисунке вид траектории, где x и y заданы в сантиметрах, а t – в секундах.

Таблица 4 

№ вариантахyt1
118+2t24t-11

Методические указания.pdf


6.14 Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её движения

По закону движения точки М на неподвижной плоскости, заданному в координатном виде, требуется установить вид её траектории и для момента времени t1=1 с найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории. Уравнения движения точки М в координатном виде по вариантам приведены в таблице 8.

Таблица 8 – Исходные данные к задаче 3

Вариант Уравнения движения
2 x=-cos(π/3·t2)+3 y=sin(π/3·t2)-1

Варианты задачи: 3.

Методические указания.pdf

ВУЗ: РГАЗУ


6.15 Определение кинематических параметров для материальной точки, движущейся криволинейно.

Задание

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t= t1 (сек) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Необходимые для решения данные приведены в табл.1.

Таблица 1

Номер варианта Уравнения движения t1, с
x = x(t), см у = у(t), см
1 -2t2 + 3 -5t 1/2

Методические указания.pdf


6.16 Точка  движется в плоскости ху (рис.К1.0-К1.9, табл.К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x=f1(t), y=f2(t), где x и y выражены в сантиметрах, t — в секундах.

Найти уравнение траектории точи; для момента времени t1=1 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f2(t)  дана в табл.К1.Точка  движется в плоскости ху (рис.К1.0-К1.9, табл.К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x=f1(t), y=f2(t), где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах.  Найти уравнение траектории точи; для момента времени t1=1 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.  Зависимость x=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f2(t)  дана в табл.К1.

Таблица К1

№ условия y=f2(t)
Рис.7-9
1 10sin(πt/6)