15 Интегралы движения

15.1 Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки, находящейся под действием постоянных сил

Груз М массой m начинает движение из точки D с начальной скоростью V0. Его движение происходит по наклонной плоскости длины l, составляющей угол α с горизонтом вдоль линии АВ наибольшего ската (рис. Д1.0 ÷ Д1.9). Положение точки D задается величиной AD = s0, вектор начальной скорости V0 направлен параллельно прямой АВ к точке В. При движении по плоскости на груз действует постоянная сила Q, направление которой задается углом γ; коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью равен f. Через τ с груз покидает плоскость или в точке A, или в точке B и, двигаясь далее в вертикальной плоскости под действием только силы тяжести, через T секунд после отделения от плоскости попадает в точку С. Все возможные варианты траекторий движения груза в точку C показаны на рисунках.

Считая груз материальной точкой найти:

– точку (А или В) отрыва груза от плоскости;

– время τ движения груза по наклонной плоскости;

– скорость груза VB (или VA) в момент отрыва;

– координаты xC, yC точки C приземления груза;

– время T движения груза в воздухе;

– скорость VC груза в точке падения.Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки, находящейся под действием постоянных сил Груз М массой m начинает движение из точки D с начальной скоростью V0. Его движение происходит по наклонной плоскости длины l, составляющей угол α с горизонтом вдоль линии АВ наибольшего ската (рис. Д1.0 ÷ Д1.9). Положение точки D задается величиной AD = s0, вектор начальной скорости V0 направлен параллельно прямой АВ к точке В. При движении по плоскости на груз действует постоянная сила Q, направление которой задается углом γ; коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью равен f. Через τ с груз покидает плоскость или в точке A, или в точке B и, двигаясь далее в вертикальной плоскости под действием только силы тяжести, через T секунд после отделения от плоскости попадает в точку С. Все возможные варианты траекторий движения груза в точку C показаны на рисунках. Считая груз материальной точкой найти: – точку (А или В) отрыва груза от плоскости; – время τ движения груза по наклонной плоскости; – скорость груза VB (или VA) в момент отрыва; – координаты xC, yC точки C приземления груза; – время T движения груза в воздухе; – скорость VC груза в точке падения.

Таблица Д1

Исходные данные

Номер условия l, м α,º γ,º m, кг s0, м V0, м/c Q, Н
1 50 45 30 20 15 15 30
Оформление готовой работы

ВУЗ: ИРНИТУ


15.2 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки A откоса и полагая при этом его начальную скорость υ0 равной нулю, определить минимальную ширину полки b и скорость υC, с которой камень падает на нее. По участку AB откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ c.

При решении задачи считать коэффициент трения скольжения f камня на участке AB постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» DC. Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки A откоса и полагая при этом его начальную скорость υ0 равной нулю, определить минимальную ширину полки b и скорость υC, с которой камень падает на нее. По участку AB откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l, камень движется τ c. При решении задачи считать коэффициент трения скольжения f камня на участке AB постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Таблица 1 – Исходные данные 

υА, м/cα,ºl, мτ, cfh, мβ,º
06041f≠0575


15.3 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Вариант 6 (рис. 117, схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l, со скоростью υА. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется τ с; в точке В со скоростью υВ он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью υС в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Дано: α = 20º; f = 0,1; τ = 0,2 с; h = 40 м; β = 30º. Определить l и υС.Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил Вариант 6 (рис. 117, схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l, со скоростью υА. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется τ с; в точке В со скоростью υВ он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью υС в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом. При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха. Дано: α = 20º; f = 0,1; τ = 0,2 с; h = 40 м; β = 30º. Определить l и υС.


15.4 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Вариант 8 (рис. 117, схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l, со скоростью υА. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется τ с; в точке В со скоростью υВ он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью υС в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил Вариант 6 (рис. 117, схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l, со скоростью υА. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от А до В движется τ с; в точке В со скоростью υВ он покидает трамплин. Через Т с лыжник приземляется со скоростью υС в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом. При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха. Дано: α = 20º; f = 0,1; τ = 0,2 с; h = 40 м; β = 30º. Определить l и υС.

Дано: υА = 21 м/с; f = 0; τ = 0,3 с; υВ = 20 м/с; β = 60º. Определить α и d.


15.5 Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135-137). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h0, отделяется от пружины.Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135-137). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h0, отделяется от пружины. В задании приняты следующие обозначения: m – масса шарика; υА – начальная скорость шарика; τ – время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9 – 13, 15 – 17, 19, 22, 25, 26, 28, 29); f – коэффициент трения скольжения шарика по стенке трубки; h0 – начальная деформация пружины; h – наибольшее сжатие пружины; с – коэффициент жесткости пружины; Н – наибольшая высота подъема шарика; s – путь, пройденный шариком до остановки.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 42.

Таблица 42

Номер варианта (рис. 135-137) m, кг υА, м/с τ, с R, м f
8 0,2 1 0,5 1,5 0,15

Конец таблицы 42

α, град β, град h0, см с, Н/см Величины,

которые требуется

определить дополнительно

30 60 0 4 h

В задании приняты следующие обозначения: m – масса шарика; υА – начальная скорость шарика; τ – время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9 – 13, 15 – 17, 19, 22, 25, 26, 28, 29); f – коэффициент трения скольжения шарика по стенке трубки; h0 – начальная деформация пружины; h – наибольшее сжатие пружины; с – коэффициент жесткости пружины; Н – наибольшая высота подъема шарика; s – путь, пройденный шариком до остановки.


15.6 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

Найти уравнения движения тела М массой m (рис. 119-121), принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы Р = Xi + Yj + Zk, при заданных начальных условиях. Во всех вариантах ось z (где показана) вертикальная, за исключением вариантов 8 и 30.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 39, в которой приняты следующие обозначения: i, j, k,  — орты координатных осей (соответственно х, у, z); g – ускорение свободного падения (9,81 м/с²); f – коэффициент трения скольжения; t – время, с; х, у, z, х′, у′, z′  — координаты точки и проекции ее скорости на оси координат соответственно, м и м/с.

Во всех случаях, где сила  зависит от х, х′, у′, z′, рассмотреть движение точки, при котором эти величины только положительны.Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил Найти уравнения движения тела М массой m (рис. 119-121), принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы Р = Xi + Yj + Zk, при заданных начальных условиях. Во всех вариантах ось z (где показана) вертикальная, за исключением вариантов 8 и 30. Необходимые для решения данные приведены в табл. 39, в которой приняты следующие обозначения: i, j, k,  - орты координатных осей (соответственно х, у, z); g – ускорение свободного падения (9,81 м/с²); f – коэффициент трения скольжения; t – время, с; х, у, z, х′, у′, z′  - координаты точки и проекции ее скорости на оси координат соответственно, м и м/с. Во всех случаях, где сила  зависит от х, х′, у′, z′, рассмотреть движение точки, при котором эти величины только положительны.

Таблица 39

Номер варианта (рис. 119-121) m, кг , Н Начальные условия
f х0 у0 z0 х′0 у′0 z′0
м м/c
8 150 0 0 0 0 0,5 2 0

15.7 Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135-137). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h0, отделяется от пружины.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 42.Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 135-137). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h0, отделяется от пружины.

Таблица 42

Номер варианта (рис. 135-137) m, кг υА, м/с τ, с R, м f
3 0,4 0 2,0 0,2 0,15

Конец таблицы 42

α, град β, град h0, см с, Н/см Величины, которые требуется

определить дополнительно

30 10 1 υD

В задании приняты следующие обозначения: m – масса шарика; υА – начальная скорость шарика; τ – время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, 20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9 – 13, 15 – 17, 19, 22, 25, 26, 28, 29); f – коэффициент трения скольжения шарика по стенке трубки; h0 – начальная деформация пружины; h – наибольшее сжатие пружины; с – коэффициент жесткости пружины; Н – наибольшая высота подъема шарика; s – путь, пройденный шариком до остановки.


15.8 ЗАДАНИЕ Д-1 Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

Материальная точка M массой m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. Участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный. Угол наклона трубы α = 30º.

На участке АВ на материальную точку действует сила тяжести Р, постоянная сила  (ее направление указано на рисунках) и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости V груза (направлена сила против движения). Трением груза о трубу на участке АВ пренебрегаем.

В точке В материальная точка, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на нее действует сила тяжести P, сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила F, проекция которой FX на ось x приведена в таблице Д-1.

Известно расстояние AB = l или время t1 движения от точки А до точки В. Требуется найти закон движения материальной точки на участке : x = f (t).Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки Материальная точка M массой m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. Участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный. Угол наклона трубы α = 30º. На участке АВ на материальную точку действует сила тяжести , постоянная сила  (ее направление указано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости  груза (направлена сила против движения). Трением груза о трубу на участке АВ пренебрегаем. В точке В материальная точка, не изменяя величины своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на нее действует сила тяжести , сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,2) и переменная сила , проекция которой FX на ось x приведена в таблице Д-1. Известно расстояние AB = l или время t1 движения от точки А до точки В. Требуется найти закон движения материальной точки на участке BС: x = f (t).

Таблица Д-1

№ варианта 6
Рис. m, кг V0, м/c Q, Н R, Н μ l, м t1, с FX, Н
6 1,2 22 2 μV² 0,8 0,5 6t

ВУЗ: Московский Политех


15.9 ЗАДАНИЕ Д-4 

Плоскопараллельное движение твердого тела

Барабан радиуса R весом P имеет проточку (как у катушки) радиуса r = 0,5R (рис.4.1, табл. Д-4). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы  и , направления которых определяются углом β. Кроме сил на барабане действует пара с моментом M. При движении, начинающимся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках.

Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс барабана, т.е. xC = f(t) , и наименьшее значение коэффициента трения fmin о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.ЗАДАНИЕ Д-4  Плоскопараллельное движение твердого тела Барабан радиуса R весом P имеет проточку (как у катушки) радиуса r = 0,5R (рис.4.1, табл. Д-4). К концам намотанных на барабан нитей приложены постоянные силы  и , направления которых определяются углом β. Кроме сил на барабане действует пара с моментом M. При движении, начинающимся из состояния покоя, барабан катится без скольжения по шероховатой наклонной плоскости с углом наклона α так, как показано на рисунках. Пренебрегая сопротивлением качению, определить закон движения центра масс барабана, т.е. xC = f(t) , и наименьшее значение коэффициента трения fmin о плоскость, при котором возможно качение без скольжения. Барабан рассматривать как сплошной однородный цилиндр радиуса R.

Таблица Д-4

№ варианта № рисунка α,º β,º F1 F2 М
6 6 0 60 0,3Р 0,1Р 0

ВУЗ: Московский Политех