7 Простейшие движения твердого тела

7.1 Маховик радиусом R вращается из состояния покоя равноускоренно так, что через время t1 точка, лежащая на ободе, имеет линейную скорость υ. Найти скорость, нормальное, касательное и полное ускорение этой же точки в момент времени t2.

Найти числовые значения при R=1 м, t1=8 c, t2=12 c, υ=5 м/c.

Ответ: υ2=7,5 м/c, an2=56,25 м/c², aτ2=0,625 м/c², a2=56,25 м/c².


7.2 Точка  движется в плоскости ху (рис.К1.0-К1.9, табл.К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x=f1(t), y=f2(t), где x и y выражены в сантиметрах, t — в секундах.

Найти уравнение траектории точи; для момента времени t1=1 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f2(t)  дана в табл.К1.Точка  движется в плоскости ху (рис.К1.0-К1.9, табл.К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x=f1(t), y=f2(t), где x и y выражены в сантиметрах, t - в секундах.  Найти уравнение траектории точи; для момента времени t1=1 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.  Зависимость x=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y=f2(t)  дана в табл.К1.

Таблица К1 

№ условияy=f2(t)
Рис.7-9
110sin(πt/6)


7.3 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

По заданным уравнениям движения точки М найти и изобразить на рисунке вид её траектории. Для момента времени t=t1, c указать положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Указать на рисунке векторы скорости и ускорения, а также все найденные в ходе решения задачи их компоненты.

№ вариантаУравнения движенияt=t1, c
X=X(t), мY=Y(t), м
173t4t2+10,5


7.4 Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис.0–7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис.8,9), соединённых друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня AB. l1=0,4 м, l2=1,2 м, l3=1,4 м, l4=0,6 м. Положение механизма определяется α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл.К2, б (для рис. 5–9).

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол φ на рис. 9 –против часовой стрелки и т. д.).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом альфа ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К2 (см. рис.К2,б).

Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки, а заданную скорость VB – от точки B к b (на рис. К5–К9).

Указание. Задача К2 – на исследование плоскопараллельного движения твёрдого тела. При её решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис.0–7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис.8,9), соединённых друг с другом и с неподвижными опорами О1, О2 шарнирами; точка D находится в середине стержня AB. l1=0,4 м, l2=1,2 м, l3=1,4 м, l4=0,6 м. Положение механизма определяется α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл.К2, б (для рис. 5–9).  Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».  Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол φ на рис. 9 –против часовой стрелки и т. д.).  Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом альфа ; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К2 (см. рис.К2,б).  Заданную угловую скорость считать направленной против часовой стрелки, а заданную скорость VB – от точки B к b (на рис. К5–К9).  Указание. Задача К2 – на исследование плоскопараллельного движения твёрдого тела. При её решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Таблица К2.б (для рис.5-9) 

Номер условияУглы, град
αβγφθ
1060900120

Продолжение таблицы К2.б 

ДаноНайти
ω1, c-1ω4, c-1V точекω звена
-4А, ЕDE

Ответ: VB=2,4 м/c, VA=0,37 м/c, VD=2,14 м/c, VE=0,58 м/c, ω2=1,73 м/c.


7.5 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для заданного положения механизма найти:

1 Скорости точек В и С и угловую скорость тела, которому они принадлежат.

2 Ускорение этих точек и угловое ускорение указанного в пункте 1 тела.ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА  Для заданного положения механизма найти:  1 Скорости точек В и С и угловую скорость тела, которому они принадлежат.  2 Ускорение этих точек и угловое ускорение указанного в пункте 1 тела.

Примечание: внимательно ознакомьтесь с указаниями кафедры. Возможно, пункт 2 этой задачи выполнять не следует.


7.6 (Вариант 1244) Груз 1, движущийся прямолинейно и поступательно по закону x(t)=c2t²+c1t+c0 (положительное направление для x соответствует направлению оси x на рис. 1), привязан к концу нити, намотанной на одно из колес (нить считать нерастяжимой), и приводит в движение механизм, состоящий из тел 1, 2, 3, 4, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей Проскальзывание между колесами, шкивами и ремнем отсутствует.

Определить:

1) постоянные в законе движения груза 1: x(t)=c2t²+c1t+c0, если в начальный момент времени груз прошел х0, см и имел скорость V0, см/c, а для времени t2 груз прошел х2, см;

2) кроме того, необходимо определить для времени t1 скорость и ускорение груза 1, угловые скорости и угловые ускорения колес 2, 3, 4 механизма; а также, скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки M.Груз 1, движущийся прямолинейно и поступательно по закону x(t)=c2t²+c1t+c0 (положительное направление для x соответствует направлению оси x на рис. 1), привязан к концу нити, намотанной на одно из колес (нить считать нерастяжимой), и приводит в движение механизм, состоящий из тел 1, 2, 3, 4, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей Проскальзывание между колесами, шкивами и ремнем отсутствует.  Определить:  1) постоянные в законе движения груза 1: x(t)=c2t²+c1t+c0, если в начальный момент времени груз прошел х0, см и имел скорость V0, см/c, а для времени t2 груз прошел х2, см;  2) кроме того, необходимо определить для времени t1 скорость и ускорение груза 1, угловые скорости и угловые ускорения колес 2, 3, 4 механизма; а также, скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки M.

Таблица 1 – Исходные данные 

r1, смt1, сх0, смr2, смt2, с
1022457

Продолжение таблицы 1 

V0, см/cr3, смх2, смr4, см№ схемы
52020474


7.7 Вращательное движение тела

Вал электродвигателя, связанный со шкивом 1 ременной передачи, вращается равнозамедленно (схема 1, рис. 5.1) или равноускоренно (схема 2, рис. 5.1) в течение t секунд. Найти передаточные числа передач, угловые скорости и угловые ускорения звеньев, скорость и ускорения указанной точки M для момента времени t1.Вращательное движение тела  Вал электродвигателя, связанный со шкивом 1 ременной передачи, вращается равнозамедленно (схема 1, рис. 5.1) или равноускоренно (схема 2, рис. 5.1) в течение t секунд. Найти передаточные числа передач, угловые скорости и угловые ускорения звеньев, скорость и ускорения указанной точки M для момента времени t1.

Таблица 5.3 – Исходные данные 

ВариантСхема
(рис. 5.1)
n, об/минt, ct1, cd1, d2, d3, d4, мм
202Разгон от нуля
до 1000 об/мин
0,50,5100, 200,
60, 300

Ответ: u12=2,0, u34=5,0, uпр=10,0, ω1=25,0 рад/c, ω2=12,5 рад/c, ω3=12,5 рад/c, ω4=41,7 рад/c, ε=50,0 рад/c², ε1=50,0 рад/c², ε2=25,0 рад/c², ε3=25,0 рад/c², ε4=5,0 рад/c², υ2=1,3 м/c, ап=15,6 м/c², аτ=2,5 м/c², а=15,8 м/c².


7.8 (Вариант 531) Тема «Плоское движение твердого тела»

Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью ω и приводит в движение шатун АВ длиной l и ползун В. Для заданного положения механизма найти скорости и ускорения ползуна В и точки С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эта точка принадлежит.

Схемы механизмов приведены на рис. 9, а необходимые для расчета данные – в табл. 7.Тема «Плоское движение твердого тела» Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью ω и приводит в движение шатун АВ длиной l и ползун В. Для заданного положения механизма найти скорости и ускорения ползуна В и точки С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эта точка принадлежит. Схемы механизмов приведены на рис. 9, а необходимые для расчета данные – в табл. 7. Примечание. Если при заданных значениях углов окажется, что шатун АВ перпендикулярен направляющим ползуна (см. рис. 9, схемы 1, 6), то значение угла β следует принять равным 15º.

Таблица 7 

R, смl, смα, градβ, градω, c-1Номер
схемы
(рис. 9)
АС
405060451010,2

Примечание. Если при заданных значениях углов окажется, что шатун АВ перпендикулярен направляющим ползуна (см. рис. 9, схемы 1, 6), то значение угла β следует принять равным 15º.

Ответ: υВ=5,66 м/c, аВ=36,21 м/c², υС=4,08 м/c, аС=36,50 м/c², ωАВ=8,0 рад/c, εАВ=40,74 рад/c².

Методические указания


7.9 Кинематический анализ плоского механизма

Кривошип 1 вращается относительно оси 4 шарнира О и приводит в движение шатун 2 и ползун на конце шатуна 3, движущегося в направляющих 5. Для расчётного положения плоского механизма требуется найти модули скоростей точек А, В и С и модули угловых скоростей звеньев этого механизма.

Схемы плоских механизмов десяти типов даны на рисунках под номерами от 1 до 10, а числовые данные для расчета приведены в таблице 9.Кинематический анализ плоского механизма Кривошип 1 вращается относительно оси 4 шарнира О и приводит в движение шатун 2 и ползун на конце шатуна 3, движущегося в направляющих 5. Для расчётного положения плоского механизма требуется найти модули скоростей точек А, В и С и модули угловых скоростей звеньев этого механизма. Схемы плоских механизмов десяти типов даны на рисунках под номерами от 1 до 10, а числовые данные для расчета приведены в таблице 9.

Таблица 9 – Исходные данные к задаче 4. 

Вариантφ1, рад/сОА, мАВ, мАС, м
11408040

Ответ: υА=40 м/c, υВ=28 м/c, υС=31,15 м/c, φАВ=0,35 рад/с.

Методические указания