6 Кинематика точки

6.1 (Вариант 1244) Материальная точка М движется в плоскости Oxy. Закон движения точки задан уравнениями x(t) и y(t), где x и y выражены в сантиметрах, время t — в секундах.

Определить:

1) траекторию движения точки, точку соответствующую началу движения t=0 и направление движения;

2) в заданный момент времени t определить положение точки на траектории, ее скорость и ускорение, нормальное и касательное ускорения, радиус кривизны траектории. Определить ускоренно или замедленно движется точка.

Таблица 1 – Исходные данные 

x(t), смat, cdy(t), смcb
at+c-51/67a·cos(πt/b)+d52


6.2 По заданным уравнениям движения точки М установить вид её траектории и для момента времени t=t1(c) найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Таблица 1 – Исходные данные 

Вариантх=х(t), смy=y(t), смt1, c
62t2-4-2t0,5

Ответ: υх=2 см/c, υу=-2 см/c, ах=4 см/c², ау=0, а=4 см/c², аτ=2,83 см/c², ан=2,83 см/c², ρ=2,83 м.

Варианты задачи: 8, 5.


6.3 Даны уравнения движения точки:

x=2acos²(kt/2),              y=asinkt

где a и k — положительные постоянные. Определить уравнения движения точки в полярных координатах.

Ответ: r=2acos(kt/2); φ=kt/2.


6.4 Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки часов; 2) минутной стрелки часов; 3) часовой стрелки часов; 4) вращения Земли вокруг своей оси, считая, что Земля делает один оборот за 24 часа; 5) паровой турбины Лаваля, делающей 15000 об/мин.

Ответ: 1) ω=π/30 рад/c=0,1047 рад/c; 2) ω=π/1800 рад/c=0,001745 рад/c; 3) ω=π/21600 рад/c=0,0001455 рад/c; 4) ω=π/43200 рад/c=1571 рад/c; 5) ω=1571 рад/c.


6.5 Написать уравнение вращения диска паровой турбины при пуске в ход, если известно. что угол поворота пропорционален кубу времени и при t=3 c угловая скорость диска равна ω=27π рад/c.

Ответ: φ=πt³ рад.


6.6 Маятник центробежного регулятора, вращающийся вокруг вертикальной оси АВ, делает 120 об/мин. В начальный момент угол поворота был равен π/6 рад. Найти угол поворота и угловое перемещение маятника за время t=1/2 c.

Ответ: φ=13π/6 рад, Δφ=2π рад.


6.7 Задание К.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениями ее движения

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t=t1(c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимы для решения данные приведены в табл. 20.

Таблица 20 

Номер вариантаУравнения движенияt=t1c
x=x(t), сму=у(t), см
24-4cos(πt/3)-1-4sin(πt/3)1

Ответ: х=-3 см, у=-3,46 см, υх=3,63 см/c, υy=-2,09 см/c, υ=4,19 см/c, aх=2,19 см/c², ay=3,80 см/c², a=4,39 см/c², aτ=0, aн=4,39 см/c², ρ=4 см.


6.8 Кинематика точки

Движение точки задано уравнениями x=f1(t) и y=f2(t) (x, y — в сантиметрах, t — в секундах). Найти траекторию точки и для моментов времени t=0 и t1=2 c определить ее координаты, скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории; вычертить траекторию точки, показать векторы скоростей и ускорений на траектории.

Уравнения движения приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2 – Уравнения движения точки 

ВариантУравнение движения
x=f1(t), смy=f2(t), см
203cos(π/3)t+13sin(π/3)t+3

Ответ: х=4 см, у=3 см, υх=-2,72 см/c, υу=-1,57 см/c, υ=3,14 см/c, ах=1,64 см/c², ау=-2,85 см/c², а=3,29 см/c², аτ=0, ан=3,29 см/c², ρ=3 см.


6.9 Точка движется по винтовой линии x=acoskt; y=asinkt; z=υt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

Ответ: ρ=a, φ=kt, z=υt.


6.10 По данным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения.

1) x=3t-5, y=4-2t; 2) x=2t, y=8t2;

3) x=5sin10t, y=3cos10t; 4) x=2-3cos5t, y=4sin5t-1;

5) x=cht=0,5(et+e-t), y=sht=0,5(et-e-t).

Ответ: 1) полупрямая 2x+3y-2=0 с началом в точке x=-5, y=4; 2) правая ветвь параболы y=2x² с начальной точкой x=0, y=0; 3) эллипс x²/25+y²/9=1 с начальной точкой x=0, y=3; 4) (x-2)²/9+(y+1)²/16 =1 с начальной точкой x=-1, y=-1; 5) верхняя часть правой ветви гиперболы x²-y²=1 с начальной точкой x=1, y=0.