11 Динамика материальной системы

11.1 Одинаковые по размерам шары сделаны из материалов плотности ρ1 и ρ2. При падении шара сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Максимальная скорость падения первого шара составляет 100 м/c. Найти максимальную скорость падения второго шара, если ρ1=7,8 г/см³, ρ2=2500 кг/м³.

Ответ: υ2=56,6 м/c.


11.2 Механическая система, состоящая из ступенчатого блока 1 (r=0,12 м; ρ=0,15 м), катка 2 и груза 3, соединенных между собой гибкими нитями (см.рис.1), приводится в движение парой сил с моментом М=β·m·g·R, H из состояния покоя    (SC20=SC30=VC30=0; ).

Считая, что:

1) масса блока 1 равна m1, кг масса  катка 2 равна m2=2m1; кг масса груза 3 равна m3=2m1, кг; l=15 м; R=0,3 м;

2) коэффициент трения скольжения между грузом 3 и брусьями А2С1 равен fтр3=0,3;

3) коэффициент трения качения катка 2 по брусьям A1C1 равен fk=0,06;

4) центр тяжести катка 2, при его движении по брусьям A1C1, за время t, c переместился на расстояние SC2, м от левой опоры А1, а центр тяжести груза 3 за то же время переместился на расстояние SC3 от опоры A2;

5) груз 3, переместившись по брусьям A2C1 на расстояние (SC3+1) от опоры A2, плавно вошел в соприкосновение с цилиндрической винтовой пружиной, сдеформировал её на λ, м  и остановился. Второй конец пружины с балкой  A2C1 не связан.

Вычислить:

1. Скорости точек С2 и С3, а также угловые скорости блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда центр тяжести С2 был смещен на расстояние SC2, м от опоры А1, а центр тяжести С3 был смещен на расстояние SС3, м от опоры А2 .

2. Ускорения точек C2 и C3, а также угловые ускорения блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда их центры тяжести C2 и C3 были смещены на расстояния SC2, м и SC3, м, соответственно.

3. Время, в течение которого центр тяжести груза 3 (точка C3) переместился на расстояние SC3, м от опоры А2.

4. Величину минимального значения коэффициента трения скольжения fтр2 между катком 2 и брусьями А1С1.

5. Величину максимальной деформации сжатия цилиндрической винтовой пружины λ, м в момент остановки груза 3.

6. Диаметр проволоки, из которой изготовлена пружина, если средний диаметр её витка равен D=0,2 м, допускаемое напряжение на срез равно [τ]=150 МПа, жесткость пружины равна 50 кН/м.

7. Динамические реакции внешних и внутренних связей в тот момент времени, когда центры тяжести катка 2 и груза 3 смещены на расстояния SC2, м и SC3, м от  опор А1 и А2,  соответственно. Принять l=15 м.

8. Из условия прочности при поперечном изгибе подобрать прочные размеры поперечного сечения бруса А2С1, считая, что он изготовлен из двух швеллеров, опирающихся тыльной стороной на опоры А2 и С1.

Считать, что наибольший изгибающий момент возникает в опасном сечении, располагающемся на расстоянии (SC3+1), м от опоры А2. Принять допускаемое нормальное напряжение на изгиб стальной детали равным  [σ]=160 МПа.

9. Из условия прочности на разрыв рассчитать диаметр тросов, соединяющих блок 1 с катком 2 и грузом 3, приняв допускаемое напряжение на разрыв [σ]=100 МПа.Механическая система, состоящая из ступенчатого блока 1 (r=0,12 м; ρ=0,15 м), катка 2 и груза 3, соединенных между собой гибкими нитями (см.рис.1), приводится в движение парой сил с моментом М=β·m·g·R, H из состояния покоя    (SC20=SC30=VC30=0; ).  Считая, что:  1) масса блока 1 равна m1, кг масса  катка 2 равна m2=2m1; кг масса груза 3 равна m3=2m1, кг; l=15 м; R=0,3 м;  2) коэффициент трения скольжения между грузом 3 и брусьями А2С1 равен fтр3=0,3;  3) коэффициент трения качения катка 2 по брусьям A1C1 равен fk=0,06;  4) центр тяжести катка 2, при его движении по брусьям A1C1, за время t, c переместился на расстояние SC2, м от левой опоры А1, а центр тяжести груза 3 за то же время переместился на расстояние SC3 от опоры A2;  5) груз 3, переместившись по брусьям A2C1 на расстояние (SC3+1) от опоры A2, плавно вошел в соприкосновение с цилиндрической винтовой пружиной, сдеформировал её на λ, м  и остановился. Второй конец пружины с балкой  A2C1 не связан.  Вычислить:  1. Скорости точек С2 и С3, а также угловые скорости блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда центр тяжести С2 был смещен на расстояние SC2, м от опоры А1, а центр тяжести С3 был смещен на расстояние SС3, м от опоры А2 .  2. Ускорения точек C2 и C3, а также угловые ускорения блока 1 и катка 2 в тот момент времени, когда их центры тяжести C2 и C3 были смещены на расстояния SC2, м и SC3, м, соответственно.  3. Время, в течение которого центр тяжести груза 3 (точка C3) переместился на расстояние SC3, м от опоры А2.  4. Величину минимального значения коэффициента трения скольжения fтр2 между катком 2 и брусьями А1С1.  5. Величину максимальной деформации сжатия цилиндрической винтовой пружины λ, м в момент остановки груза 3.  6. Диаметр проволоки, из которой изготовлена пружина, если средний диаметр её витка равен D=0,2 м, допускаемое напряжение на срез равно [τ]=150 МПа, жесткость пружины равна 50 кН/м.  7. Динамические реакции внешних и внутренних связей в тот момент времени, когда центры тяжести катка 2 и груза 3 смещены на расстояния SC2, м и SC3, м от  опор А1 и А2,  соответственно. Принять l=15 м.  8. Из условия прочности при поперечном изгибе подобрать прочные размеры поперечного сечения бруса А2С1, считая, что он изготовлен из двух швеллеров, опирающихся тыльной стороной на опоры А2 и С1.  Считать, что наибольший изгибающий момент возникает в опасном сечении, располагающемся на расстоянии (SC3+1), м от опоры А2. Принять допускаемое нормальное напряжение на изгиб стальной детали равным  [σ]=160 МПа.  9. Из условия прочности на разрыв рассчитать диаметр тросов, соединяющих блок 1 с катком 2 и грузом 3, приняв допускаемое напряжение на разрыв [σ]=100 МПа.

Таблица 1 — Данные для решения задачи 

№ строкβSC2, мα, градm1, кг
2,11040100
шифр1016


11.3 Механическая система (рис. Д1.8) состоит из ступенчатых шкивов 1, 2 и 3 (коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,1). Тела системы соединены друг с другом нитями или находятся в зацеплении. Радиусы ступеней шкивов R1, r1, R2, r2приведены в табл. Д1.1, а остальные параметры системы – в табл. Д1.2.

Под действием постоянного момента M система приходит в движение из состояния покоя. На шкив 2 действует постоянный момент сопротивления MC. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение груза 3 равно S3. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д1.2, где обозначено: ω1, ω2 – угловые скорости шкивов 1, 2, V3 –скорость груза 3. В этой же таблице указано перемещение груза S3.

Указание. Задача Д1 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. Т-Т0=∑Ае+∑Аi. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел входящих в систему. Кинетическую энергию системы следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую следует определить в задаче.Механическая система (рис. Д1.8) состоит из ступенчатых шкивов 1, 2 и 3 (коэффициент трения скольжения груза о плоскость f=0,1). Тела системы соединены друг с другом нитями или находятся в зацеплении. Радиусы ступеней шкивов R1, r1, R2, r2приведены в табл. Д1.1, а остальные параметры системы – в табл. Д1.2.  Под действием постоянного момента M система приходит в движение из состояния покоя. На шкив 2 действует постоянный момент сопротивления MC. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение груза 3 равно S3. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д1.2, где обозначено: ω1, ω2 – угловые скорости шкивов 1, 2, V3 –скорость груза 3. В этой же таблице указано перемещение груза S3.  Указание. Задача Д1 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. Т-Т0=∑Ае+∑Аi. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел входящих в систему. Кинетическую энергию системы следует выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую следует определить в задаче.

Таблица Д1.1 

№ рисункаR1, мr1, мR2, мr2, м
Д1.80,2-0,60,1

Таблица Д1.2 

№ условияm1, кгm2, кгm3, кгМ, Н·м
135624

Продолжение таблицы Д1.2 

МС, Н·мα, градS3, мНайти
0,4601,2ω1

Ответ: ω1=25 рад/c.


11.4 (Вариант 143) РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

Теорема об изменении кинетической энергии

Задание:  Для заданной механической системы, движение которой начинается из состояния покоя, определить, какую скорость приобретает тело 1 при перемещении на расстояние S.Теорема об изменении кинетической энергии Задание: Для заданной механической системы, движение которой начинается из состояния покоя, определить, какую скорость приобретает тело 1 при перемещении на расстояние S.

Таблица 2 – Исходные данные 

m1, кгR, мd, мαºm2, кг
3m0,50,002453m

Продолжение таблицы 2 

fm3, кгm4, кгS1, мρ, м
0,12m4m50,15

Ответ: V1=3,27 м/c.